Question

在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即y=2x﹣1．

（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为　   　，伴随直线为　   　，抛物线与其伴随直线的交点坐标为　   　和　   　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D．

①若∠CAB=90°，求m的值；

②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．

Answer

(1)(-1,-4);y=x-3;(0,-3);(-1,-4)；）（2）①m=- ; ②m=-2

【解析】

（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用 m 表示出 A、B、C、D 的坐标，利用勾股定理可表示出 AC2、AB2和 BC2，在 Rt△ABC 中由勾股定理可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；②由 B、C 的坐标可求得直线 BC 的解析式，过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q，则可用 x 表示出 PQ 的长，进一步表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可得到 m 的方程，可求得 m 的值．

（1）∵y=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为 y=（x+1）﹣4，即 y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，

解或，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

(2)、①因为抛物线解析式为y=m（x-1）2-4m，

所以其伴随直线为y=m（x-1）-4m，即y=mx-5m.

联立抛物线与伴随直线的解析式可得：，

解得或，

所以A(1,-4m)，B（2，-3m）

在y=m（x-1）2-4m中，

令y=0可计算出x=-1或x=3，

所以C（-1，0），D（3，0）

即AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

若∠CAB=90°，则AB2+AC2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2

解得：m=（抛物线开口向下，舍去），m=-，

所以当∠CAB=90°时，m=-；

②设直线BC的解析式为y=-mx-m，如图过作轴的垂线交BC于点Q，如图所示：

因为点P的横坐标为，所以P（x，m（x-1）2-4m），Q（x，-mx-m），因为P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

所以 PQ=m（x-1）2-4m+mx+m=m（x2-x-2）=［（x-）2-］m

所以，.S△PBC=×［2-（-1）］PQ=m（x-）2-m

当x=时，△PBC的值有最大值-m，

所以取得最大值时，即-m=，计算得出m=-2．