Question

如图，∠ABC=90°, P为射线BC上任意一点(点P和点B不重合),分别以AB,AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ, 连结QE并延长交BP于点F， 若FQ=6, AB=2,则BP=__________

Answer

4

【解析】

连接EP，过点E作EM⊥BC,由题意可得△AQE≌△ABP,可得QE=BP,∠AEQ=∠ABC=90∘,可求∠EBF=∠BEF=30°,根据勾股定理可求BE=2EM=,BM=EM，EF=BF=2FM，EM=FM,可求BF=EF=2，EM=2，FM=1，由QF=6，EF=2，可得BP=EQ=4.

如图，连接EP，过点E作EM⊥BC

∵△AEB，△APQ是等边三角形

∴AB=AE=BE=，AQ=AP，∠ABE=∠BAE=∠QAP=60°=∠AEB

∴∠BAP=∠QAE

在△ABP和△QAE中，

∴△ABP≌△QAE（SAS）

∴QE=BP,∠AEQ=∠ABP=90°

∵∠AEQ=∠ABC=90°,∠ABE=∠AEB=60°

∴∠BEF=∠EBF=30°

∴BF=EF，∠EFM=60°

∵EM⊥BC

∴∠FEM=30°

∴EF=2FM=BF，EM=FM

∵∠EBM=30°，EM⊥BC

∴BE=2EM，BM=EM

∵EB=2

∴EM=，BM=3

∵BF+FM=BM

∴FM=1，BF=EF=2

∵QF=EQ+EF

∴EQ=6−2=4

∴BP=EQ=4

故答案为：4.