Question

如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.

(1)求证: AD=BE.

(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.

(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).

Answer

（1）见解析；（2）26；（3）+b

【解析】

（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；

（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，得到AD=BE，然后可求AE的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的长；

（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出DE=2CM，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt△BEN中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.

证明：（1）∵∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD=BE

（2）∵∠DCE=90°，CD=CE，

∴△DCE为等腰直角三角形，

∵CM⊥DE，

∴CM平分DE，即M为DE的中点

∴CM=DE，

∴DE=2CM=14，

∵∠ACB=∠DCE

∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE

∴AE=AD+DE=24

如图，设AE，BC交于点H，

在△ACH和△BEH中，

∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，

∴∠BEH=∠ACH=90°，

∴△ABE为直角三角形

由勾股定理得

（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°
∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM，
∴CD=CE=2CM，DM=EM=CM
∴DE=2CM=2b
∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，
∴∠NBE=30°，
∴BE=2EN，BN=EN

∵BN=a

∴BE=2EN==AD

∴AE=AD+DE=