Question

如图，在等边△ABC中， M为BC边上的中点， D是射线AM上的一个动点，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）填空：若D与M重合时（如图1）∠CBE=              度；

（2）如图2，当点D在线段AM上时（点D不与A、M重合），请判断（1）中结论是否成立？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，如图3，若点P、Q在BE的延长线上，且CP=CQ=4，AB=6，试求PQ的长．

Answer

（1）30°（2）（1）中结论成立．理由见解析（3）．

【解析】

(1)如图1.

∵在等边△ABC中，M为BC边上的中点，D与M重合，

∴BD=CD，

∵△CDE是等边三角形，

∴∠CDE=60°，CD=DE，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠DBE，

又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，

∴∠DBE=30°,即∠CBE=30°；

故答案为30；

（2）（1）中结论成立．

证明：∵正△ABC、正△CDE ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE ∴∠CAD＝∠CBE． 又∵正△ABC中，M是BC中点．

∴∠CAD＝∠BAC＝30°． ∴∠CBE＝30°

（3）

作CF⊥PQ于F ∵CP＝CQ ∴PF＝QF＝PQ

由（2）Rt△BCF中，∠CBF＝30° ∴CF＝BC＝AB＝3

Rt△PCF中，PF＝∴PQ＝2PF＝