Question

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连结CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连结DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连结BE．

（1）求证：AD＝BE；

（2）求证：AD²+BF²＝DF²；

（3）若∠ACD＝15°，CD＝+1，求BF．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3)

【解析】

（1）将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，可得△DCE是等腰直角三角形，再判定△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD=BE；

（2）连接FE，根据CF是DE的垂直平分线，可得DF=EF，再根据Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即可得出AD2+BF2=DF2；

（3）根据∠BDE=15°=∠DEF，可得∠BFE=30°，设BE=x，则BF=x，EF=2x=DF，再根据Rt△BDE中，x2+（2x+x）2=（+）2，即可解得x=1，进而得到BF=．

（1）将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，可得△DCE是等腰直角三角形，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DC＝EC，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）如图，连接FE，

∵CF⊥DE，△DCE是等腰直角三角形，

∴CF是DE的垂直平分线，

∴DF＝EF，

又∵△ACD≌△BCE，∠ABC＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°＝∠ABC，

∴∠EBF＝90°，

∴Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，

∴AD2+BF2＝DF2；

（3）∵CD＝+1，△DCE是等腰直角三角形，

∴DE＝，

∵∠ACD＝15°，∠A＝∠CDE＝45°，

∴∠BDE＝15°＝∠DEF，

∴∠BFE＝30°，

设BE＝x，则BF＝x，EF＝2x＝DF，

∴Rt△BDE中，x2+（2x+x）2＝（+）2，

解得x＝1，

∴BF＝．