Question

在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．

（1）如图①，求点B的坐标；

（2）点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．

①如图②，当点P运动到点（，0）时，求此时点D的坐标；

②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于的点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer

（1）（，2）；（2）①点D坐标（，），②点P的坐标分别为（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF＝OE＝2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．

（2）①由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP＝AD，∠DAB＝∠PAO，∠DAP＝∠BAO＝60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD＝90°，∠DBG＝60°．利用三角函数求出BG＝BD•cos60°，DG＝BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．

②本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（x，0）：第一种情况：当点P在x轴正半轴上时，第二种情况：当P在x轴负半轴，OP＜时，第三种情况：当点P在x轴的负半轴上，且OP≥时，此时点D在x轴上或第四象限．综合上面三种情况即可求出符合条件的值．

【解析】
（1）如图①，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，

∵△AOB是等边三角形，OA＝4，

∴BF＝OE＝2．

在Rt△OBF中，

由勾股定理，得：，

∴点B的坐标为（，2）．

（2）①如图②，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G．则BG⊥DH．

∵△ABD由△AOP旋转得到，

∴△ABD≌△AOP．

∴∠ABD＝∠AOP＝90°，.

∵△AOB是等边三角形，

∴∠ABO＝60°．

∵BE⊥OA，

∴∠ABE＝30°，

∴∠DBG＝60°，∠BDG＝30°．

在Rt△DBG中，.

∵sin60°＝，

∴DG＝DB•sin60°＝，

∴，．

∴点D的坐标为（，）．

②点P的坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

假设存在点P，在它运动过程中，使△OPD的面积等于.

设OP＝x，下面分三种情况讨论．

第一种情况：

当点P在x轴正半轴上时，如图③，BD＝OP＝x，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BD•sin60°＝，

∴.

∵△OPD的面积等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴点P1的坐标为（，0）．

第二种情况：

当点P在x轴的负半轴上，且OP＜时，此时点D在第一象限，如图④，

在Rt△DBG中，∠DBG＝30°，BG＝BD•cos30°＝．

∴，

∵△OPD的面积等于，

∴，.

解得：，.

∴点P2的坐标为（，0）．点P3的坐标为（，0）．

第三种情况：

当点P在x轴的负半轴上，且OP≥时，此时点D在x轴上或第四象限，如图⑤，

在Rt△DBG中，∠DBG＝60°，

∴DG＝BD•sin60°＝．

∵△OPD的面积等于，

∴，.

解得：，（舍去）．

∴点P4的坐标为：（，0）．

综上所述，点P的坐标为：P1（，0）或P2（，0）或P3（，0）或P4（，0）．