Question

（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA＝3，PB＝2，PC＝5，求∠BQC的度数．

（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠BPA的度数．

Answer

（1）135°；（2）150°

【解析】

（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；

（2）将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP'，由旋转知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12，进而得出△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．

在△PP'C中，由勾股定理的逆定理得出∠PP'C=90°，从而可以得出结论．

（1）连接PQ．

由旋转可知：，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，

∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，

即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．

则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．

即∠PQC=90°．

故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP'，

此时点P的对应点是点P'．

由旋转知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12．

又∵△ABC是正三角形，∴∠ABP+∠PBC=60°，

∴∠CBP'+∠PBC=60°，∴∠PBP'=60°．

又∵P'B=PB=5，∴△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．

在△PP'C中，∵PC=13，PP'=5，P'C=12，∴PC2=PP'2+P'C2．

即∠PP'C=90°．

故∠BPA=∠BP'C=60°+90°=150°．