Question

如图，∠MON＝45°，线段AB在射线ON上运动，AB＝2．

（1）如图1，已知OA＝AB，AC＝BC，∠ACB＝90°，点C在∠MON内．

①求证：以点C为圆心，CA的半径的圆与射线OM相切（切点记为点P）；

②∠APB的大小为　   　．

（2）如图2，若射线OM上存在点Q，使得∠AQB＝30度，试利用图2，求A，O两点之间距离t的取值范围．

Answer

（1）① 见解析，②45°；（2）0≤t≤2-1

【解析】

（1）①如图1中，作CP⊥OM于P，AH⊥OM于H．证明CP=AC即可．

②利用圆周角定理解决问题即可．

（2）如图3中，以AB为边向上作等边△ABC，以C为圆心CA为半径作⊙C，当⊙C与射线OM有交点时，射线OM上存在点Q，使得∠AQB∠ACB=30°．当⊙C与射线OM相切于点Q时，作CP∥OM交OB于P，作PK⊥OM于K，则四边形CQKP是矩形，解直角三角形求出OA的值即可判断．

（1）①如图1中，作CP⊥OM于P，AH⊥OM于H．

∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°．

∵∠O=45°，∴∠CAB=∠O，∴AC∥OP．

∵PC∥AH，∴四边形ACPH是平行四边形．

∵∠CPH=90°，∴四边形ACPH是矩形．

∵OA=AB，∠AHO=∠BCA=90°，∠O=∠CAB=45°，

∴△AOH≌△BAC（AAS），∴AC=BC=OH=AH，

∴四边形ACPH是正方形，∴PC=AC，∴OM是⊙C的切线．

②如图2中，连接PA．

由①可知四边形ACPH是正方形，∴∠ACP=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠PCB=180°，∴P，C，B共线，

∴∠APB∠ACB=45°．

（2）如图3中，以AB为边向上作等边△ABC，

以C为圆心CA为半径作⊙C，当⊙C与射线OM有交点时，

射线OM上存在点Q，使得∠AQB∠ACB=30°．

当⊙C与射线OM相切于点Q时，作CP∥OM交OB于P，

作PK⊥OM于K，则四边形CQKP是矩形，

∴PK=CQ=CA=AB=2．

∵∠O=45°，∠OKP=90°，∴OK=PK=2，

∴OPOK=2．

过C作CH⊥AB于H．

∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，

∴AH=HB=1，CH，

∴PC∥OM，∴∠CPH=∠O=45°，∴PH=CH，

∴OH=OP+PH=2，∴OA=OH－AH=21，

观察图形可知，满足条件的t的取值范围为：0≤t≤21．