Question

下列关于函数y＝x²﹣4x+6的四个命题：①当x＝0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x＝2+n时的函数值大于x＝n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的函数值有（2n﹣2）个；④若函数图象过点（a，y₀），（b，y₀+1），则a＜b，其中真命题的序号是（　　）

A.①② B.②③ C.③④ D.②④

Answer

B

【解析】

分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．

【解析】
∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，

∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；

当x＝2+n时，y＝（2+n）2﹣4（2+n）+6，

当x＝2﹣n时，y＝（n﹣2）2﹣4（n﹣2）+6，

∵（2+n）2﹣4（2+n）+6﹣[（n﹣2）2﹣4（n﹣2）+6]＝0，

∴n为任意实数，x＝2+n时的函数值等于x＝2﹣n时的函数值，大于x＝n时的函数值，故②正确；

∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，

∴当x＞2时，y随x的增大而增大，

当x＝n+1时，y＝（n+1）2﹣4（n+1）+6，

当x＝n时，y＝n2﹣4n+6，

（n+1）2﹣4（n+1）+6﹣[n2﹣4n+6]＝2n﹣3，

∵n是整数，

∴2n﹣3是整数，

∴y的整数值有（2n﹣2）个；故③正确；

∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，1＞0，

∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，

∴无法判断a＜b，故④错误，

故选：B．