Question

如图，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝2，∠B＝30°，正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内，且DE在BC边上，F在AC边上，H在AB边上，则正六边形DEFGHI的边长为_____，过I作A₁C₁∥AC，然后在△A₁C₁B内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n个正六边形的边长为_____．

Answer

， （）n﹣1×（）n．

【解析】

如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ＝JF＝CF，设EF＝a，则EC＝a，CF＝a．构建方程求出a，探究规律利用规律即可解决问题；

【解析】
如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ＝JF＝CF，设EF＝a，则EC＝a，CF＝a．

∴3CF＝AC，

∴a＝AC，

在Rt△ABC中，∵AB＝2，∠B＝30°，

∴AC＝AB＝1，

∴a＝，

易知A1C1＝a，

∴第二个正六边形边长为： ××＝（）1×（）2，

同法可得第三个正六边形的边长为：＝（）2×（）3，

∴第n个正六边形的边长为：（）n﹣1×（）n，

故答案为：，（）n﹣1×（）n；