Question

如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为∠α

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

的度数	30.2°	40.4°	50.0°	61.6°
的度数	55.7°	60.4°	80.2°	100.3°
∠α的度数	43.0°	50.2°	65.0°	81.0°

猜想： 、、∠α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒

（2）如图2，若∠α＝60°，AB＝2，CD＝1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒

①求弦CG的长；

②求圆O的半径．

Answer

（1）∠α＝（的度数+ 的度数），见解析；（2）①，②

【解析】

（1）连接BC，如图1，先利用三角形外角性质得到∠α＝∠B+∠C，再利用圆周角与它所对弧的度数之间的关系得到∠B＝的度数，∠C＝的度数，所以∠α＝（的度数+ 的度数）；

（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如图2，利用旋转的性质得，AB＝DG＝2，利用由（1）的结论得到的度数为120°，则∠COG＝120°，

关键圆周角定理计算出∠CDG＝120°，则∠GDF＝60°，于是通过解直角三角形可计算出CG的长；

②利用垂径定理得到CH＝GH＝，然后通过解直角三角形求出OG即可．

【解析】
（1）∠α＝（的度数+ 的度数）

理由如下：连接BC，如图1，

∠α＝∠B+∠C，

而∠B＝的度数，∠C＝的度数，

∴∠α＝（的度数+ 的度数）；

（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如图2，

∵将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G，

∴，AB＝DG＝2，

由（1）得的度数+的度数＝2∠α＝120°，

的度数+的度数＝2∠α＝120°，

即的度数为120°，

∴∠COG＝120°，

∴∠CAG＝60°，

而∠CAG+∠CDG＝120°，

∴∠CDG＝120°，

∴∠GDF＝60°，

在Rt△GDF中，DF＝DG＝1，GF＝DF＝，

在Rt△CFG中，CG；

②∵OH⊥CG，

∴CH＝GH＝CG＝，

∵∠OGH＝（180°﹣120°）＝30°，

∴，

∴OG＝2OH＝，

即圆O的半径为．