Question

如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析；（2）S阴影＝π.

【解析】

（1）连接OD，先证明∠OAD＝∠CAD，∠ODA＝∠CAD，从而证明∠ODE＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；

（2）连接OF，根据∠BAC＝60°和角度转换证明OD∥OC，即可证明S△AFD＝S△AFO，把图中阴影部分面积转换得到扇形OAF的面积，再根据扇形面积公式即可求出.

【解析】
（1）连结OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OF，

∵OD∥AC，

∴S△AFD＝S△AFO，

∵∠BAC＝60°，OA＝OF，

∴△OAF为等边三角形，

∴∠AOF＝60°，

∴S阴影＝S扇形OAF＝＝π．