Question

某大型服装批发市场经销一种品牌衬衫，如果每件盈利10元，每天可售出500件．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销售量将减少20件．设每件涨价x元，

（1）当批发商总利润为5520元时，求每件衬衫涨价多少元？

（2）当x不大于a （0＜a＜25）时，求批发商能获得的最大利润．

Answer

（1）每件衬衫涨价2元或13元；（2）当0＜a＜7.5时，y有最大值为（﹣20a2+300a+5000）元，当7.5≤a＜25时，y有最大值为6125元．

【解析】

（1）设每件衬衫涨价x元，根据题意写出每件衬衫的利润及每天的销售量列出方程求解即可；

（2）设批发商能获得利润为y元，根据题意写出y与x的关系式，再配成完全平方式，即可求出y的最大值.

【解析】
（1）设每件衬衫涨价x元，根据题意得：（10+x）（500﹣2x）＝5520，

整理得x2﹣15x+26＝0，

解得x1＝2，x2＝13，

则每件衬衫涨价2元或13元；

（2）设批发商能获得利润为y元，根据题意得：

y＝（10+x）（500﹣2x）

＝﹣20x2+300x+5000

＝﹣20（x﹣7.5）2+6125

∵a＝﹣20＜0，

∴当x＜7.5时，y随x的增大而增大，

当x＞7.5时，y随x的增大而减小．

∴当x不大于a （0＜a＜25）时，分两种情况考虑：

当0＜a＜7.5时，∵x≤a，∴当x＝a时，

y有最大值为﹣20a2+300a+5000，

当7.5≤a＜25时，∵x≤a，

∴当x＝7.5时，

y有最大值为6125，

则当0＜a＜7.5时，y有最大值为（﹣20a2+300a+5000）元，

当7.5≤a＜25时，y有最大值为6125元．