Question

已知：抛物线C₁：y＝ax²+bx+c（a＞0）与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）．

（1）b、c分别用含a的式子表示为：b＝　   　，c＝　   　；

（2）将抛物线C₁向左平移个单位，得到抛物线C₂．直线y＝kx+a（k＞0）与C₂交于A，B两点（A在B左侧）．P是抛物线C₂上一点，且在直线AB下方．作PE∥y轴交线段AB于E，过A、B两点分别作PE的垂线AM、BN，垂足分别为M，N．

①当P点在y轴上时，试说明：AM•BN为定值．

②已知当点P（a，n）时，恰有S_△ABM＝S_△ABN，求当1≤a≤3时，k的取值范围．

Answer

（1）﹣a，﹣2a；（2）①见解析；②2≤k≤18．

【解析】

（1）根据抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a即可求解；

（2）①由（1）知，b＝﹣a，c＝﹣2a，抛物线C1的表达式为：y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣，则抛物线C2的表达式为：y＝ax2﹣，联立直线与抛物线C2的表达式并整理得：ax2﹣kx﹣＝0，即可证明AM•BN为定值；

②S△ABM＝S△ABN，则AM＝BN，a﹣x1＝x2﹣a，得到x1+x2＝2a，x1+x2＝，即可求出k的取值范围.

【解析】
根据抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，

故b＝﹣a，c＝﹣2a，

故答案为﹣a，﹣2a；

（2）设：点A、B的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），

①由（1）知，b＝﹣a，c＝﹣2a，

抛物线C1的表达式为：y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣）2﹣，

则抛物线C2的表达式为：y＝ax2﹣，

联立直线与抛物线C2的表达式并整理得：ax2﹣kx﹣＝0，

则x1x2＝＝AM•BN，

故AM•BN为定值；

②∵S△ABM＝S△ABN，

∴AM＝BN，a﹣x1＝x2﹣a，则x1+x2＝2a，

∵x1+x2＝，

∴＝2a，

∴k＝2a2，

∵1≤a≤3，

∴2≤k≤18．