Question

如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：

(1)△DOE是等边三角形.   

(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立

【解析】

(1)、根据等边三角形的性质以及圆的半径可以得出：△OBD和△OEC都为等边三角形，结合∠BOD=∠EOC=60°得出∠DOE=60°，从而得出等边三角形；(2)、连接CD，根据BC为直径得出∠BDC=∠ADC=90°，根据∠A的度数得出∠ACD=30°，然后根据圆周角的性质可得：∠DOE=60°，结合OD=OE得出等边三角形．

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵OB=OC=OE=OD ，

∴△OBD和△OEC都为等边三角形，

∴∠BOD=∠EOC=60°，

∴∠DOE=60°，

∴△DOE为等边三角形.

(2)

【解析】
当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.

证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ADC=90°，

∵∠A=60°，

∴∠ACD=30°，

∴∠DOE=2∠ACD=60°，

∵OD=OE ，

∴△DOE为等边三角形.