Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．

（1）证明：△ADF是等腰三角形；

（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，

Answer

（1）见解析；（2）EC＝4．

【解析】

（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；

（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．

（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵FE⊥BC，

∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，

∴∠F＝∠BDE，

而∠BDE＝∠FDA，

∴∠F＝∠FDA，

∴AF＝AD，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵∠B＝60°，BD＝4，

∴BE＝BD＝2，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB＝AD+BD＝6，

∴EC＝BC﹣BE＝4．