Question

如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为

（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长

（2）若AB=4

①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值

②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由

Answer

（1）AB的长为3；（2）①；②t的值为或或4.

【解析】

（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，用角角边证明，可推出AB=BC=3.

（2）①在Rt△中，找出边长利用勾股定理建立方程求解；

②分三种情况讨论：，，，分别作出相应的图形，在中，分别找出边长，利用勾股定理建立方程求解.

（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，

由折叠的性质可知，，

∵，，

∴

在和中，

∴≌（AAS）

∴

又∵ABCD为矩形，∴AD=BC=3，

∴AB=3

（2）①在Rt△ABC中，

∵点P点的运动时间为t，速度为1，∴BP=t，

，，,

在Rt△中，由勾股定理有，即，解得.

②当，如下图所示，

∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4，

有折叠性质有，在Rt△中，

，

∴

在Rt△中，，

，即，解得

当∠=90°时，如下图所示，

由折叠可得，

在Rt△中，

在Rt△中，，，

，即，解得

当=90°时，如下图所示，根据折叠易得四边形为正方形，∴PB=AB=4

综上，满足题意的t的值为或或4.