Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．现分别任作△ABC的内接矩形P₁Q₁M₁N₁，P₂Q₂M₂N₂，P₃Q₃M₃N₃，设这三个内接矩形的周长分别为c₁、c₂，c₃，则c₁+c₂+c₃的值是（　　）

A.6 B. C.12 D.

Answer

C

【解析】

首先过点A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=BC=1，∠B=∠C，由勾股定理可求得AD的长，又可证得△BN1P1∽△BAD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N1P1=2BP1，又由△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），BP1=CQ1，则可求得c1的值，同理可求得c2，c3的值，继而求得答案．

过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC＝，BC＝2，

∴BD＝CD＝BC＝1，∠B＝∠C，

∴

∵四边形P1Q1M1N1是矩形，

∴P1Q1＝M1N1，N1P1＝M1Q1，N1P1⊥BC，

∴N1P1∥AD，

∴△BN1P1∽△BAD，

∴BP1：BD＝N1P1：AD，

∴N1P1＝2BP1，

在△BP1N1和△CQ1M1中，

∵

∴△BP1N1≌△CQ1M1（AAS），

∴BP1＝CQ1，

∴c1＝N1P1+P1Q1+M1Q1+M1N1＝2BP1+2P1Q1+2BP1＝2（BP1+P1Q1+BP1）＝2（BP1+P1Q1+CQ1）＝2BC＝2×2＝4，

同理：c2＝c3＝c1＝4．

∴c1+c2+c3＝12．

故选C．