Question

如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（　　）

A.6﹣3 B.6-6 C.3 D.

Answer

A

【解析】

根据相似三角形的判定定理证明△COB∽△DOA，得到∠OBC＝∠OAD，得到∠APB＝∠AOB＝90°，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．

【解析】
取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS−MS≤PM≤MS＋PS，∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC＋∠PBO＝180°，
∴∠OAD＋∠PBO＝180°，∠AOB＋∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6−3，
故选：A．