Question

如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．

Answer

（1）60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB ，理由详见解析；（3）∠ABC=30°

【解析】

（1）根据平行线的性质与角平分线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质与角平分线的性质即可求得∠APB=2∠ADB（3）根据三角形的内角和即可求解.

【解析】
（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=60°

∴∠ABN=120°

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP, ∠DBP=∠NBP,

∴∠CBD=∠CBP +∠DBP=∠ABN=60°

（2）不变化，∠APB=2∠ADB，理由：

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN

∠ADB=∠DBN

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN =2∠DBN

∴∠APB=2∠ADB

（3）在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，

∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB

∵AD∥BN，∠A=60°，

∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC，

由（1）知∠CBD=60°，

∴∠ABC=(∠ABN-∠CBD)=30°