Question

如图，和都是等腰直角三角形，，点P为射线BD，CE的交点．

求证：；

若，把绕点A旋转．

当时，求PB的长；

直接写出旋转过程中线段PB长的最大值与最小值．

Answer

（1）详见解析；（2）①或；②PB长的最小值是，最大值是．

【解析】

欲证明，只要证明≌即可．

分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，由∽，得，由此即可解决问题．

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，解法类似．

、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在下方与相切时，PB的值最小．

b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在上方与相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．

证明：如图1中，

和是等腰直角三角形，，

，，，

在和中，

，

≌，

．

【解析】
、如图2中，当点E在AB上时，．

，

同可证≌．

．

，

∽．

b、如图3中，当点E在BA延长线上时，．

，

，

同可证≌．

．

，

∽，

，

，

，

综上，或．

、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在下方与相切时，PB的值最小．

理由：此时最小，因此PB最小，是直角三角形，斜边BC为定值，最小，因此PB最小

，

，

由可知，≌，

，，

，

四边形AEPD是矩形，

，

．

b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在上方与相切时，PB的值最大．

理由：此时最大，因此PB最大，是直角三角形，斜边BC为定值，最大，因此PB最大

，

，

由可知，≌，

，，

，

四边形AEPD是矩形，

，

．

综上所述，PB长的最小值是，最大值是．