Question

问题情境：如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90∘,AD⊥BC于点D,可知：∠BAD=∠C(不需要证明)；

(1)特例探究：如图②,∠MAN=90∘,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；

(2)归纳证明：如图③,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；

(3)拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E.F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少?

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）6.

【解析】

（1）求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证△ABD≌△CAF即可；

（2）根据题意和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证△BAE≌△CAF即可；

（3）求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案.

（1）证明：如图②,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF(AAS)；

（2）证明：如图③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，

∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，

在△BAE和△CAF中，

∴△BAE≌△CAF(ASA)；

（3）如图④，∵△ABC的面积为18，CD=2BD，

∴△ABD的面积，

由(2)可得△BAE≌△CAF，

即△BAE的面积=△ACF的面积，

∴△ACF与△BDE的面积之和等于△BAE与△BDE的面积之和，

即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积6.