Question

教科书中这样写道:“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形:先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求化数式最大值.最小值等.

例如:分解因式

；例如求代数式的最小值..可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式: _____

（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值.

（3）当为何值时.多项式有最小值并求出这个最小值

Answer

（1）；（2）时，最小值为-；（3），最小值为

【解析】

（1）根据阅读材料，先将m2−4m−5变形为m2−4m＋4−9，再根据完全平方公式写成（m−2）2−9，然后利用平方差公式分解即可；

（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答；

（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答．

（1）m2−4m−5

＝m2−4m＋4−9

＝（m−2）2−9＝

（m−2＋3）（m−2−3）＝

（m＋1）（m−5）．

故答案为；

（2）

＝a2−4a＋b2＋6b＋8

＝a2−4a＋4＋b2＋6b＋9-5

＝，

当a＝2，b＝−3时，有最小值，最小值为-5；

（3）∵

=

=

=

=

∴当a＝4，b＝3时，多项式有最小值17．