Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点，的面积为2，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点从出发，沿轴的正半轴与点同时以相同的速度运动，过作轴交直线于.

(1)求直线的解析式.

(2)当点在线段上运动时，设的面积为，点运动的时间为秒，求与的函数关系式(直接写出自变量的取值范围).

(3)过点作轴交直线于，在运动过程中(点不与点重合)，是否存在某一时刻(秒)，使是等腰三角形?若存在，求出时间的值.

Answer

（1）y=x+2；（2）S=t（0≤t≤2）；（3）当t=-2或2时，△MNQ是等腰三角形.

【解析】

（1）根据三角形的面积公式求出OA，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

（2）由等腰直角三角形的性质可得PM，再表示出PQ，然后利用直角三角形的面积公式解答即可；

（3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），

再分别求出MN,NQ,MQ;最后分MN=QN，MN=QM，QN=QM三种情况列出方程求解即可.

【解析】
（1）由点B（-2，0），则OB=2

∵S ABO=OB·OA=2

∴OA=2，即A（0.2）

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

∴b=2，k=1

∴直线AB的解析式为y=x+2；

（2）∵OA=OB=2，

∴△ABO是等腰直角三角形，

∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度,时间为t

∴PM=PB=OQ=t,PO=2-t

∴PQ=PO+OQ=PO+BP=OB=2，

∴S=S△MPQ=PQ·PM=×2×t=t

∵点P在线段OB上运动

∴0≤t≤2

∴S与的函数关系式为S=t（0≤t≤2）；

（3）存在,理由如下:

由题意可得:t秒时，点M、N、Q的坐标分别为（-2+t，t）、（t，t+2）、（t，0），

则：MN2=4+4=8，MQ2=4+t2，NQ=（t+2）2，

①当MN=MQ时，即：8=4+t2，t=2（负值已舍去），

②当MN=NQ时，同理可得：t=-2（负值已舍去），

③当MQ=NQ时，同理可得：1=0（舍去）

故：当t=2或-2时，△MNQ是等腰三角形.