Question

如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．

(1)求证：CD=BE；

(2)若AB=12，试求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
（2）根据CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．

（1）证明：如图，作DM∥AB，交CB于M，则∠DMF=∠EBF.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，

∴△CDM是等边三角形，

∴CD=DM.

在△DMF和△EBF中，

∠DMF=∠EBF，

∠DFM=∠EFB，

DF=EF，

∴△DMF≌△EBF（AAS）.

∴DM=BE，

∴CD=BE.

（2）【解析】
∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，

∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，

∴BE=BF，DM=FM.

由（1）知△DMF≌△EBF，

∴MF=BF，

∴CM=MF=BF.

又∵AB=BC=12，

∴CM=MF=BF=4.