Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP²-PB²=48，则△PCD的面积为____.

Answer

6

【解析】

根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积 =CD·PD可得.

【解析】
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠B=45°，

∴AC=BC，

∵CD⊥AB ，

∴AD=BD=CD=AB，

∵AP2-PB2=48 ，

∴(AP+PB)(AP-PB)=48，

∴AB(AD+PD-BD+DP)=48,

∴AB·2PD=48，

∴2CD·2PD=48，

∴CD·PD=12，

∴ △PCD的面积=CD·PD=6.

故答案为6.