Question

如图，点M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝3，ON＝7，在∠AOB内有一点G，到边OA，OB的距离相等，且满足GM＝GN．

（1）尺规作图：画出点G（要求：保留作图痕迹）；

（2）试证明：∠OMG+∠ONG＝180°；

（3）若P，Q分别是射线OA，OB上的动点，且满足GP＝GQ，则当OP＝4时，OQ的长度为　   　．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）4或6

【解析】

（1）作OP平分∠AOB，作线段MN的垂直平分线EF，EF交OP于点G，点G即为所求；

（2）证明△OGK≌△OGH（AAS），推出OK＝OH，GK＝GH，由GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，推出Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），再利用全等三角形的性质，四边形内角和定理解决问题；

（3）首先求出OK＝OH＝5，PK＝1，然后分两种情形分别求解即可解决问题．

【解析】
（1）如图，点G即为所求．

（2）证明：作GK⊥OA于K，GH⊥OB于H．

∵∠GOK＝∠GOH，∠GKO＝∠GHO＝90°，OG＝OG，

∴△OGK≌△OGH（AAS），

∴OK＝OH，GK＝GH，

∵GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，

∴Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），

∴∠KGM＝∠HGN，

∴∠MGN＝∠KGH，

∵∠KGH+∠AOB＝180°，

∴∠MGN+∠AOB＝180°，

∴∠OMG+∠ONG＝180°；

（3）如图，

∵OK＝OH，MK＝NH，

∴OM+ON＝OK﹣KM+OH+HN＝2OK＝10，

∴OK＝OH＝5，

∵OP＝4，

∴PK＝5﹣4＝1，

∵GP＝GQ，

∴当点Q在线段OH上时，OQ＝OP＝4，

当点Q′在OH的延长线上时，OQ′＝5+1＝6，

故答案为4或6．