Question

如图，点D，E分别在正△ABC的边AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于点F．

（1）①求证：△ACE≌△CBD；②求∠AFD的度数；

（2）如图2，若D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，BM，CD交于Q．若△ABC的面积为S，请用S表示四边形ANQF的面积　   　；

（3）如图3，延长CD到点P，使∠BPD＝30°，设AF＝a，CF＝b，请用含a，b的式子表示PC长，并说明理由．

Answer

（1）①见解析，②∠AFD＝60°（2）S；（3）PC＝a+2b，见解析

【解析】

（1）①由等边三角形的性质AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，可证△BDC≌△CEA；

②由三角形的外角性质可求∠AFD的度数；

（2）由等边三角形的性质可得BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可证△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性质和三等分点性质，可求四边形ANQF的面积；

（3）在AC上截取AM＝CE，由题意可证△BHC≌△CFA，可得BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，∠PHB＝60°，即可求PC的长．

证明：（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，

∴△BDC≌△CEA（SAS）；

②∵△BDC≌△CEA，

∴∠CAE＝∠BCD，

∵∠AFD＝∠CAE+∠ACF＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，

∴∠AFD＝60°；

（2）∵D，E，M，N分别是△ABC各边上的三等分点，

∴BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，

∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），

∴∠CAE＝∠ABM＝∠BCD，∠AMB＝∠AEC＝∠BDC，且BD＝CE，

∴△BDQ≌△CEF（ASA），

∴S△BDQ＝S△CEF，

∵BD＝DN，

∴S△BDQ＝S△DNQ＝S△CEF，

∵D，E是AB，BC上三等分点，

∴S△BDC＝S△CEA＝S△ABC＝S，

∵四边形ANQF的面积＝S△ABC﹣S△AEC﹣S△DNQ﹣S四边形DFEB＝S﹣S﹣S，

∴四边形ANQF的面积＝S，

故答案为:S；

（3）PC＝a+2b，

理由如下：如图，在AC上截取AM＝CE，即AM＝CE＝BD，

∵AM＝CE＝BD，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝CB，

∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），

∴∠CAE＝∠BCD＝∠ABM，且∠ABC＝∠ACE，

∴∠MBC＝∠ACD，且BC＝AC，∠EAC＝∠BCD，

∴△BHC≌△CFA（ASA），

∴BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，

∵∠PHB＝∠MBH+∠HCB＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC，

∴∠PHB＝60°，且∠BPD＝30°，

∴∠PBH＝90°，且∠BPH＝30°，

∴PH＝2BH＝2b，

∴PC＝PH+HC＝a+2b.