Question

如图，动手操作：长为1，宽为a的长方形纸片（<a<l），如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的长方形为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（   ）

A. B.或 C.或 D.或

Answer

D

【解析】

根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原长方形的宽．所以首先需要判断长方形相邻的两边中，哪一条边是长方形的宽．当＜a＜1时，长方形的长为1，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的长方形相邻的两边分别为1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为1-a，剩下的长方形相邻的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）与（2a-1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．对于每一种情况，分别根据第三次操作后剩下的长方形为正方形，则第二次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，列出方程，即可求出a的值．

【解析】
由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的长方形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的长方形的两边分别为1-a，a-（1-a）=2a-1，此时，分两种情况：
①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．
∵经过第三次操作后所得的长方形是正方形，
∴1-a=2（2a-1），解得a=；
②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1-a．
则2（1-a）=2a-1，解得a=．
故选：D．