Question

如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，

(1)求∠APO+∠DCO的度数;

(2)求证:点P在OC的垂直平分线上.

Answer

（1）30°；（2）详见解析．

【解析】

（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形，进而解答即可．

【解析】
（1）如图1，连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=PC，
∴点P在OC的垂直平分线上