Question

如图，抛物线y＝ax²+bx+与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），顶点为D，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式及D点坐标；

（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在点E，使得∠ECA＝2∠CAB，如果存在这样的点E，求出△ACE面积，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+，顶点D（﹣2，）（2）S△AEC＝．

【解析】

（1）用待定系数法可求抛物线的表达式，即可求顶点D坐标；

（2）过点C作CM∥AB，过点E作EF⊥CM，设点E（m，-m2-2m+），通过证明△CEF∽△ACB，可得 ，即可求m的值，代入可求点E坐标，由面积和差关系可求△ACE面积．

【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），

∴ ，

∴

∴抛物线的表达式为：，

∴顶点D（﹣2，）

（2）如图，过点C作CM∥AB，过点E作EF⊥CM，

设点E（m，﹣m2﹣2m+）

∵y＝﹣x2﹣2x+交y轴交于点C，

∴点C（0，），

∴OC＝，

∵CM∥AB，

∴∠MCA＝∠CAB，

∵∠ECA＝2∠CAB＝∠ECF+∠MCA，

∴∠ECF＝∠CAB，且∠AOC＝∠EFC＝90°，

∴△CEF∽△ACO，

∴，

∴

∴m＝0（不合题意），m＝﹣3，

∴点E（﹣3，4），

∴S△AEC＝×（+4）×3+×4×2﹣×5×＝．