Question

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，则AB的长度为　   ；

（2）如图②，⊙O的半径为16，弦AB＝16，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值；

（3）如图③，在△ABC中AB＝AC＝8，∠CAB＝120°，D是BC的中点，E是平面内一点，且ED＝2，连接BE，将EB绕点E逆时针旋转120°，得到EB′，连接CB′、BB′，四边形ABB′C的面积是否存在最大值，若存在，求出四边ABB′C的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）4；（2）PM的最大值为16+8．（3）存在，四边形ABB′C的面积的最大值＝24+40．

【解析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可．

（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．首先证明△OAB是等边三角形，再根据PM≤OP+OM求出OM即可解决问题．

（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．首先证明△ABE∽△CBB′，推出△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，求出△AEB的面积的最大值即可解决问题．

【解析】
（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝BC＝6，∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABH中，AB＝

故答案为4．

（2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．

∵OA＝OB＝AB＝16，

∴△OAB是等边三角形，

∵AM＝BM，

∴OM⊥AB，

OM＝OA•sin60°＝8，

∵PM≤OM+OP，

∴PM≤16+8，

∴PM的最大值为16+8．

（3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．

∵AC＝AB＝8，∠CAB＝120°，CD＝DB，

∴AD⊥BC，∠DAB=∠CAB＝60°，

∴AD＝AB•cos60°＝4，DH＝AD•sin60°＝2，

∵△ABC，△EBB′都是顶角为120°的等腰三角形，

∴∠ABC＝∠EBB′＝30°，，

∴∠ABE＝∠CBB′，

∴△ABE∽△CBB′，

∴△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，

∵DE＝2，

∴点E的运动轨迹是以D为圆心DE为半径的圆上运动，

当点E在HD的延长线上时，EH＝2+2，且EH⊥AB，此时△ABE的面积最大，最大面积＝×8×（2+2）＝8+8．

∵，

∴△CBB′的面积的最大值＝24+24，

∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×4+24+24＝24+40．