Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）PG＝﹣m2﹣3m，（3）m＝﹣2

【解析】

（1）将A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先求出抛物线与直线BC的交点为（﹣2，4）（0，4），得出点P在直线BC上方时，m的取值范围，再根据P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），求出PG＝﹣m2﹣m；

（3）先求出直线BD的解析式，进而求出H的坐标，然后分两种情况和进行讨论即可.

【解析】
（1）∵点A和点B在抛物线上, 将A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得

解得

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）∵4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝﹣3或0，

∴抛物线与直线BC的交点为（﹣3，4）（0，4），

∴点P在直线BC上方时，m的取值范围是：﹣3＜m＜0，

∵E（m，0），B（0，4），

∵PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），

∴PG＝﹣m2﹣3m+4﹣4＝﹣m2﹣3m，

（3）∵y＝﹣x2﹣3x+4；

∴当y=0时，或-4

设直线BD的解析式为

将B,D两点代入中，得

解得

∴直线BD的解析式为

①若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

②若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

综上所述，m＝﹣2