Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒(0≤t≤12)，连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为______.

Answer

4或7或9

【解析】

由条件可求得AC＝8，可知E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，当△CDE为直角三角形时，只有∠EDC＝90°或∠DEC＝90°，再结合△CDE和△ABC相似，可求得CE的长，则可求得t的值.

【解析】
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，

∴AC＝2BC＝8cm，

∵D为BC中点，

∴CD＝2cm，

∵0≤t＜12，

∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，

按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，

①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝(8﹣t)cm，

当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，

∵D为BC中点，

∴E为AC中点，

此时AE＝4cm，可得t＝4；

当∠DEC＝90°时，

∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，

∴△CED∽△BCA，

∴，即，解得t＝7；

②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；

综上可知t的值为4或7或9，

故答案为：4或7或9.