Question

平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y₁＝(x＞0)的图象上，点B与点A关于原点O对称，一次函数y₂＝mx+n的图象经过点B.

(1)设a＝2，点C(4，2)在函数y₁，y₂的图象上.分别求函数y₁，y₂的表达式.

(2)如图，设函数y₁，y₂的图象相交于点C，点C的横坐标为3a，△ABC的面积为16，求k的值.

Answer

(1)y1＝，y2＝x﹣2；(2)k＝6.

【解析】

(1)将点C(4，2)代入y1＝，求出k的值，得到函数y1的表达式；把x＝a＝2代入y1＝，求出点A坐标，根据A和点A'关于原点对称，得到点A'的坐标，将点A'和点B的坐标代入y2＝mx+n，利用待定系数法求出函数y2的表达式；

(2)由反比例函数图象上点的坐标特征可得点A坐标，根据A和点B关于原点对称，得到点B(﹣a，﹣).又点B在y2＝mx+n的图象上，那么点B(﹣a，﹣am+n).解方程即可得到结论.

【解析】
(1)∵点C(4，2)在函数y1＝(x＞0)的图象上，

∴k＝4×2＝8，

∴函数y1的表达式为y1＝.

∵点A在y1＝的图象上，

∴x＝a＝2，y＝4，

∴点A(2，4).

∵A和点B关于原点对称，

∴点B的坐标为(﹣2，﹣4).

∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'和点B，

∴，

解之，得：，

∴函数y2的表达式为y2＝x﹣2；

(2)∵点A的横坐标为a，

∴点A(a，).

∵A和点B关于原点对称，

∴点B的坐标为(﹣a，﹣).

∵点B在y2＝mx+n的图象上，

∴点B的坐标为(﹣a，﹣am+n).

∴﹣＝﹣am+n，

a2m＝an+k①.

∵点C的横坐标为3a，

∴点C(3a，3am+n)或(3a，)，

∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②

由①②得：a2m＝，an＝﹣.

过点A作AD⊥x轴，交BC于点D，则点D(a，am+n)，

∴AD＝﹣am﹣n.

∵S△ABc＝AD(xc﹣xb)＝•4a(﹣am﹣n)＝16，

∴k﹣a2m﹣an＝8，

∴k﹣﹣(﹣)＝8，

∴k＝6.