Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接EB的延长线交AC于点F，交⊙O于点D，连接AD，过点D作直线DN，使∠ADN＝∠DBC.

(1)求证：直线DN是⊙O的切线；

(2)若DF＝1，且BF＝3，求AD的长.

Answer

(1)证明见解析；(2)AD=.

【解析】

(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥AC，再根据∠ADN＝∠DAC，即可判定AC∥DN，进而得到OD⊥DN，据此可得直线DN是⊙O的切线.

(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠AED＝∠EAD，即可得出DA＝DE，再判定△DAF∽△DBA，即可得到DA2＝DF•DB，据此解答即可.

【解析】
(1)证明：如图所示，连接OD，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴OD⊥BC，

又∵∠ADN＝∠DBC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠ADN＝∠DAC，

∴AC∥DN，

∴OD⊥DN，

又∵OD为⊙O半径，

∴直线DN是⊙O的切线；

(2)∵，

∴∠DAF＝∠DBA，

又∵∠ADF＝∠ADB(公共角)，

∴△DAF∽△DBA，

∴，即DA2＝DF•DB，

∵DF＝2，BF＝3，

∴DB＝DF+BF＝5

∴DA2＝DF•DB＝10

∴DA＝DE＝.