Question

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

(1)若每天的利润为3780元，为减少库存，销售单价应定为多少元？

(2)求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本x每天的销售量)

Answer

(1)销售单价应定为68元；(2)销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；(3)销售单价应控制在82元至90元之间

【解析】

(1)列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答；

(2)通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值；

(3)实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

【解析】
(1)设销售单价应定为x元，根据题意，得

(x﹣50)(50+500﹣5x)＝3780

整理，得x2﹣160x+6256＝0

解得：x1＝68，x2＝92，

为减少库存，x2＝92(舍去).

答：为减少库存，销售单价应定为68元.

(2)设每天销售利润为y元，根据题意，得

y＝(x﹣50)(50+5000﹣5x)(50≤x≤100)

＝﹣5x2+800x﹣27500

＝﹣5(x﹣80)2+4500

当x＝80时，y有最大值为4500.

答：销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.

(3)当y＝4000时，﹣5(x﹣80)2+4500＝4000

解得：x1＝70，x2＝90，

所以当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，

因为每天的总成本不超过7000元，得

50(﹣5x+550)≤7000解得x≥82.

所以82≤x≤90.

又因为50≤x≤100，

答：销售单价应控制在82元至90元之间.