Question

如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点

(1)观察猜想：图1中，△FGH的形状是______.

(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△FGH的形状是否发生改变？并说明理由；

(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出△FGH的周长的最大值.

Answer

(1)等边三角形；(2)不发生改变，理由见解析；(3)△PMN的周长的最大值为12.

【解析】

(1)观察猜想：

如图1，先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，则BD＝CE，再根据三角形中位线性质得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，从而得到FH＝GH，∠FHG＝60°，从而可判断△FGH为等边三角形；

(2)探究证明：

连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与(1)一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，可得FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，则计算出∠BHF+∠CHG＝120°，从而得到∠FHG＝60°，于是可判断△FHG为等边三角形.

(3)拓展延伸：

利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)得到BD的最大值为8，则GH的最大值为4，然后可确定△FHG的周长的最大值.

【解析】
(1)观察猜想：

如图1，∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵AD＝AE，

∴BD＝CE，

∵点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点

∴FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，

∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°，

∴∠FHG＝60°，

∴△FGH为等边三角形；

故答案为：等边三角形；

(2)探究证明：

△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形.

理由如下：连接CE、BD，如图2，

∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

与(1)一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，

∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，

∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，

∴∠FHG＝60°，

∴△FHG为等边三角形.

(3)拓展延伸：

∵GH＝BD，

∴当BD的值最大时，GH的值最大，

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)

∴BD的最大值为2+6＝8，

∴GH的最大值为4，

∴△PMN的周长的最大值为12.