Question

已知抛物线y_n＝﹣(x﹣a_n)²+b_n，(n为正整数，且0≤a₁＜a₂＜…≤a_n)与x轴的交点为

A(0，0)和A_n(∁_n，0)，∁_n＝C_n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y₁＝﹣(x﹣a₁)²+b₁与x轴的交点为A(0，0)和A₁(2，0)，其他依此类推.

(1)求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式.

(2)抛物线的顶点B坐标为(_____，______)；依此类推，第n+1条抛物线y_n+1的顶点B_n+1坐标为(____，_____)所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是______.

(3)探究下结论：

①是否存在抛物线y_n，使得△AA_nB_n为等腰直角三角形？若存在请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.

②若直线x＝m(m＞0)与抛物线y_n分别交于C₁，C₂，…，C_n则线段C₁C₂，C₂C₃，…，C_n﹣1C_n的长有何规律？请用含有m的代数式表示.

Answer

(1)a1=1，a2=1，y2＝﹣(x﹣2)2+4；(2)n，n2；n+1，(n+1)2；y＝x2；(3)①存在，y＝﹣(x﹣1)2+1；②Cn﹣1Cn=2m.

【解析】

(1)A1(2，0)，则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，则点A2(4，0)，将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4，即可求解；

(2)同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为(n，n2)，以此推出：点B[(n+1，(n+1)2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，即可求解；

(3)①△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2＝2ABn2，即(2n)2＝2(n2+n4)，即可求解；

②yCn﹣1＝﹣(m﹣n+1)2+(n﹣1)2，yCn＝﹣(m﹣n)2+n2，Cn﹣1∁n＝yCn﹣yCn﹣1，即可求解.

【解析】
(1)A1(2，0)，则C1＝2，则C2＝2+2＝4，

将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

则点A2(4，0)，将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4；

故y2＝﹣(x﹣a2)2+b2＝﹣(x﹣2)2+4；

(2)同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为(n，n2)，

以此推出：点B[(n+1，(n+1)2]，

故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，

故答案为：(n，n2)；[(n+1，(n+1)2]；y＝x2；

(3)①存在，理由：

点A(0，0)，点An(2n，0)、点Bn(n，n2)，

△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2＝2ABn2，

即(2n)2＝2(n2+n4)，解得：n＝1(不合题意的值已舍去)，

抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+1；

②yCn﹣1＝﹣(m﹣n+1)2+(n﹣1)2，

yCn＝﹣(m﹣n)2+n2，

Cn﹣1Cn＝yCn﹣yCn﹣1＝﹣(m﹣n)2+n2+(m﹣n+1)2﹣(n﹣1)2＝2m.