Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有AB为斜边的等腰直角三角形ABC，其中点A（0，2），点C（﹣1，0），抛物线y＝ax²+ax﹣2经过B点．

（1）求B点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点N（点B除外），使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（﹣3，1） （2）y＝x2+x﹣2 （3）见解析

【解析】

（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；

（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；

（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．

【解析】
（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D．

∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，

∴∠BCD＝∠CAO，

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，

∴△BCD≌△CAO，

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴点B的坐标为（﹣3，1）；

（2）抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），

则得到1＝9a﹣3a﹣2，

解得a＝，

所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；

（3）假设存在点N，使得△ACN仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；

则延长BC至点N1，使得N1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACN1，

过点N1作N1M⊥x轴，

∵CN1＝BC，∠MCN1＝∠BCD，∠N1MC＝∠BDC＝90°，

∴△MN1C≌△DBC．

∴CM＝CD＝2，N1M＝BD＝1，可求得点N1（1，﹣1）；

②若以点A为直角顶点；

则过点A作AN2⊥CA，且使得AN2＝AC，得到等腰直角三角形△ACN2，

过点N2作N2P⊥y轴，同理可证△AN2P≌△CAO，

∴NP2＝OA＝2，AP＝OC＝1，可求得点N2（2，1），

③以A为直角顶点的等腰Rt△ACN的顶点N有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AN＝AC时，点N可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点N2；

点N也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点N3．因此，然后过N3作N3G⊥y轴于G，同理：△AGN3≌△CAO，

∴GN3＝OA＝2，AG＝OC＝1，

∴N3（﹣2，3）；

经检验，点N1（1，﹣1）与点N2（2，1）都在抛物线y＝x2+x﹣2上，点N3（﹣2，3）不在抛物线上．