Question

在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A(2，3)，B两点，P是第一象限内的双曲线上在意一点，直线PA交x轴于点M，连接PB交x轴于点N，若∠APN = 90°，则PM的长为______.

Answer

【解析】

过P作直线PE⊥x轴于点E，过点A作AC⊥PE于点C，过点B作BD⊥PE于点D，先用待定系数法求出两个函数的解析式，再求得B点坐标，然后证明△ACP∽△PDB，运用相似三角形的性质列出关于t的方程，求得t的值，再求AP的解析式，进而求得PM的长．

【解析】
过P作直线PE⊥x轴于点E，过点A作AC⊥PE于点C，过点B作BD⊥PE于点D，如图所示，
把A（2，3）代入y＝kx中，得3＝2k，
∴k＝，
∴直线AB的解析式为：y＝x，
把A（2，3）代入y＝中，得m＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝，
根据反比例函数与正比例函数的对称性可得B（−2，−3），
设P点的坐标为（t，），
则AC＝t−2，PC＝3−，BD＝t＋2，PD＝＋3，
∵∠ACP＝∠BDP＝90°，∠APN＝90°，
∴∠CAP＋∠APC＝∠APC＋∠BPD＝90°，
∴∠CAP＝∠BPD，
∴△ACP∽△PDB，
∴，即，
解得，t＝2（A点的横坐标），或t＝3，
∴P（3，2），
设直线AP的解析式为：y＝ax＋b（a≠0），则，解得， ，
∴直线AP的解析式为：y＝−x＋5，
令y＝0，得x＝5，
∴M（5，0），
∴PM＝＝，
故答案为：．