Question

已知线段，为的中点，为上一点，连接交于点.

(1)如图1，当且为中点时，求的值.

(2)如图2，当，=时，求tan∠的值.

Answer

(1)；(2)tan∠BPC=.

【解析】

（1）连结AB、CD，首先证明点P为△OAB的重心，得到，然后利用勾股定理求出AP即可；

（2）延长AC至点H，使CH=CA，连接BH，易证△BCH≌△OCA，得到BH=OA，∠CBH=∠O，然后设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t，根据△HBP∽△ADP列比例式求出BP=4t，得到BH=BP，然后根据tan∠BPC=tan∠H求解即可.

【解析】
(1)连结AB、CD，

∵C、D分别为OB、OA的中点，

∴AC、BD为△OAB边OB、OA的中线，

∴点P为△OAB的重心，

∴，

∵，，

∴在Rt△AOC中，，

∴；

(2)延长AC至点H，使CH=CA，连接BH，

∵C是OB的中点，

易得△BCH≌△OCA（SAS），

∴BH=OA，∠CBH=∠O，

由，设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t，

在Rt△BOD中，BD=，

∵∠CBH=∠O，

∴OA//BH，

∴△HBP∽△ADP，

∴，

∴BP=4PD=BD=4t，

∴BH=BP，

∴∠BPC=∠H，

∴tan∠BPC=tan∠H===.