Question

如图，正方形ABCD的边长是6，点E、F分别是边AD、AB的点,AP⊥BE于点P.

(1)如图①，当AE=2且AF=BF时，若点T是射线PF上的一个动点(点T不与点P重合)，当△ABT是直角三角形时，求AT的长.

(2)如图②，当AE=AF时，连结CP，判断CP与PF的位置关系，并加以证明.

   

Answer

(1)AT＝3或3；(2)CP⊥PF，证明见解析.

【解析】

（1）解Rt△BAE，求出∠ABE＝30°，然后分三种情况进行讨论：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°时，点T和点P重合，不符合题意；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得TF＝BF＝AF＝3，而∠BFT＝60°，那么△FTB是等边三角形，TB＝3，再根据勾股定理求出AT； ③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，解直角三角形求出BT，然后在Rt△ATB中利用勾股定理求出AT；

（2）先证明∠1＝∠3＝∠4，由tan∠1＝，tan∠3＝，得出，等量代换得到，然后可证明△PBC∽△PAF，得出∠5＝∠6，进而可得∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，那么CP⊥PF．

【解析】
（1）在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°，

∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝，

∴∠ABE＝30°，

点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况：

①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°，

此时点T和点P重合，与题意不符；

②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°，

如图所示，在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3，

∴∠BPF＝∠FBP＝30°，

∴∠BFT＝60°，

在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3，

∴△FTB是等边三角形，

∴TB＝3，AT＝；

③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，

如图所示，在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝，

在Rt△ATB中：AT＝，

综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为或；

（2）CP⊥PF，

证明：如图所示，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠3＝∠4，

∵在Rt△EAB中，AP⊥BE，

∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠3＝∠4，

∵tan∠1＝，tan∠3＝，

∴，

∵AE＝AF，AB＝BC，

∴，

∴△PBC∽△PAF，

∴∠5＝∠6．

∵∠6＋∠7＝90°，

∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，

∴CP⊥PF．