Question

如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝_____．

Answer

255．

【解析】

I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．

【解析】
设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，

∵I为△APC的内心，

∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，

∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）

＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）

＝180°﹣（90°﹣α+60°）

＝α+105°

∵0＜α＜90°，

∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，

∴m＝105，n＝150．

∴m+n＝255，

故答案为：255．