Question

已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE

（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；

（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．

Answer

（1）AB＝10m；（2）见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=45°，根据角平分线的性质得到CE=EH=BH，根据全等三角形的性质得到AH=AC，于是得到结论；

（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF=BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF=BG，进而得到BG=BE．

【解析】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠B＝45°，

∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，

∴CE＝EH＝BH，

在Rt△ACE与Rt△AHE中，

，

∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），

∴AH＝AC，

∴AH＝BC，

∵△EHB的周长为10m，

∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；

（2）如图所示，连接AD，

线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，

∵AC⊥BD，DC＝BC，

∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，

∴∠BAD＝90°＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠DAF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，

∴∠FDC＝90°，

∵BG⊥BC，

∴∠CBG＝∠CDF＝90°，

又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，

∴△BCG≌△DCF（ASA），

∴DF＝BG，

∴BG＝BE．