Question

如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝_________.

Answer

或

【解析】

根据裁开折叠之后平行四边形的面积可得CD的长度为2+4或2+．

如图①，当四边形ABCE为平行四边形时，

作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T.

∵AB＝BC，

∴四边形ABCE是菱形．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，

∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，

∴∠NAD＝60°，

∴∠AND＝90°.

设BT＝x，则CN＝x，BC＝EC＝2x.

∵四边形ABCE面积为2，

∴EC·BT＝2，即2x×x＝2，解得x＝1，

∴AE＝EC＝2，EN＝ ，

∴AN＝AE＋EN＝2＋ ，

∴CD＝AD＝2AN＝4＋2.

如图②，当四边形BEDF是平行四边形，

∵BE＝BF，

∴平行四边形BEDF是菱形．

∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，

∴∠ADB＝∠BDC＝15°.

∵BE＝DE，

∴∠EBD＝∠ADB＝15°，

∴∠AEB＝30°.

设AB＝y，则DE＝BE＝2y，AE＝y.

∵四边形BEDF的面积为2，

∴AB·DE＝2，即2y2＝2，解得y＝1，

∴AE＝，DE＝2，

∴AD＝AE＋DE＝2＋.

综上所述，CD的值为4＋2或2＋.