Question

平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分？

Answer

5个圆最多将平面分成22个部分，n个圆最多分平面为n2﹣n+2．

【解析】

根据题意，探索出圆的个数与分成的平面个数的关系，从而得出结论.

1个圆最多能把平面分成2个部分，

2个圆最多能把平面分成4个部分；

3个圆最多能把平面分成8个部分；

现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，

如图所示，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成8+6＝14个部分，

同理，5个圆最多将平面分成14+8＝22个部分，

一般地，n个圆最多分平面为：

2+1×2+2×2+…+（n﹣1）×2，

＝2+2[1+2+…+（n﹣1）]，

＝n2﹣n+2．