Question

如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）若F为OA的中点,⊙O的半径为2，求BE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；

（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.

（1）连接BD，

∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，

∵D是AC的中点，∴BC=AB，

∴∠C=∠A＝45°，

∴∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，

∵⊙O的半径为2， F为OA的中点，

∴OF=1， BF=3，，

∴，

∵，

∴∠E=∠A，

∵∠AFD=∠EFB，

∴△AFD∽△EFB，

∴，即，

∴.