Question

综合与实践

问题情境

如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=8，CD=6．

操作计算

（1）如图（1），分别沿BE,DF剪去RtΔABE和RtΔCDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF菱形，求AE的长；

      

           图（1）                    图（2）              图（3）

操作探究

把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到ΔABC和两张纸片

(2)将两张纸片如图（2）摆放，点C和重合，点B,C,D在同一条直线上，连接,记的中点为M，连接BM，MD，发现ΔBMD是等腰三角形，请证明：

（3）如图（3），将两张纸片叠合在一起，然后将纸片绕点B顺时针旋转a（0⁰<a<90⁰),连接和，探究并直接写出线段与的关系．

Answer

（1）AE的长为；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由矩形的性质得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性质得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）连接MC，证出△ACA′是等腰直角三角形，得出∠CA′A=45°，由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出A′M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA′，证出∠BCM=∠DA′M，由SAS证明△BCM≌△DA′M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA′，由角的雇佣关系证出∠BMD=90°，即可得出结论；
（3）延长AC′、A′C交于点M，由旋转的性质得：BC′=BA，BA′=BC，∠A′BC=∠ABC′，∠BA′C=∠BC′A，证出∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C，由四边形内角和定理得出∠A′BC′+∠M=180°，证出∠M=90°，得出AC′⊥A′C，证明△ABC′∽△C′BA′，得出对应边成比例,即可求得AC′=A′C．

（1）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，
∴AB=CD=6，∠A=90°，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE=AD-AE=8-AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
即62+AE2=（8-AE）2，
解得：AE= ； ′
（2）证明：连接MC，如图2所示：

根据题意得：△ABC≌△CDA′，∠CDA′=90°，
∴AC=A′C，∠BCA=∠CA′D，∠CA′D+∠A′CD=90°，
∴∠BCA+∠A′CD=90°，
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，
∵M是AA′的中点，
∴A′M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA′，
∵∠BCA=∠CA′D，
∴∠BCA+∠MCA=∠CA′D+∠CA′A，
∴∠BCM=∠DA′M，
在△BCM和△DA′M中，

∴△BCM≌△DA′M（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMA′，
∵∠CMD+∠DMA′=90°，
∴∠CMD+∠BMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形；
（3）【解析】
AC′⊥A′C，AC′=A′C，理由如下：
延长AC′、A′C交于点M，如图3所示：

由旋转的性质得：BC′=BA，BA′=BC，∠A′BC=∠ABC′，∠BA′C=∠BC′A，
∴∠BAC=∠BC′A，∠BCA′=∠BA′C，
∴∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C，
∵∠BC′A+∠BC′M=180°，
∴∠BA′C+∠BC′M=180°，
∴∠A′BC′+∠M=180°，
∵∠A′BC′=∠ABC=90°，
∴∠M=90°，
∴AC′⊥A′C，
∵∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C，
∴△ABC′∽△CBA′，

∴ ,

∴AC′=A′C.