Question

综合与探究

如图，抛物线y＝﹣x²﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；

（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．

Answer

（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①点D落在直线l上时，t＝6﹣2；②CD的最小值为．

【解析】

（1）解方程求出点A、点B的坐标，根据二次函数的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线l的表达式；

（2）①分点M在AO上运动、点M在OB上运动两种情况，DN⊥x轴于N，证明△MCO≌△DMN，根据全等三角形的性质得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到点D的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t；

②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答．

（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+=0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

当x＝0时，y＝，即C（0，），

设直线l的表达式为y＝kx+b，

将B，C两点坐标代入得，，

解得，，

则直线l的表达式为y＝﹣x+；

（2）①如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DN⊥x轴于N，

由题意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，

则∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，

∴∠MCO＝∠DMN，

在△MCO与△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN（AAS），

∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，如图2，当点M在OB上运动时，

点D的坐标为：D（﹣3+t+，t﹣3）

将D点坐标代入直线BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，

t＝6﹣2，即点D落在直线l上时，t＝6﹣2；

②∵△COD是等腰直角三角形，

∴CM＝MD，

∴线段CM最小时，线段CD长度的最小，

∵M在AB上运动，

∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，

根据勾股定理得，CD的最小值为．